Ecole Doctorale 184

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__Le problème d'Ulam et le théorème de Baik-Deift-Johansson__

//Par Pierre Lazag//

Considérons un avion à $n$ sièges, constituant une seule et unique rangée (oui je sais, cet avion n'existe pas, mais je vous rappelle qu'on fait des maths). Les passagers ont chacun un numéro de siège qui leur est attribué, et ils arrivent bien évidement dans le désordre, ce que l'on modélise par une permutation aléatoire choisie uniformément dans le n-ème groupe symétrique $S_n$. Chaque passager a une valise qu'il met une minute à ranger et si la personne derrière est placée plus loin, elle doit attendre. Question : combien de temps met l'avion à se remplir quand n est grand ? Réponse : en moyenne, $2 \sqrt{n}$, et les fluctuations sont de l'ordre de $n^{1/6}$.

Dans cet exposé, je propose une esquisse de preuve de ces résultats. Je traduirai le problème en terme de diagramme de Young distribués selon la mesure de Plancherel via la correspondance de Robinson-Schensted-Knuth (RSK) que je détaillerai. La poissonisation de cette mesure est déterminantale, et j'expliquerai cette notion qui est cruciale pour la résolution du problème. Le noyau de ce déterminant étant gentiment représenté par des intégrales de contour, cela permet une étude asymptotique fine avec peu d'efforts, via un cas basique de la méthode de la pente descendante. La référence principale sont les [[https://arxiv.org/abs/1212.3351|notes de cours de Borodin-Gorin]].

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